2024年 AIME I 数学邀请赛真题

2024年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

每天早上，Aya 都会步行一 $9 美元$ 公里，然后在咖啡店结束。有一天，她以 $$s 美元$ 每小时公里的速度行走，步行需要 $4 美元$ 几个小时，包括 $$t 美元$ 在咖啡店的几分钟。另一个早上，她以 $$s+2美元$ 每小时公里的速度步行，步行需要 $2 美元$ 数小时和 $24 美元$ 分钟，包括 $$t 美元$ 在咖啡店的几分钟。今天早上，如果她以 $s+\frac12$ 每小时公里的速度步行，步行需要多少分钟，包括在咖啡店的 $$t 美元$ 几分钟？

问题 2

实数 $$x 美元$ 和 $$y 美元$ $x，y>1$ 满足 $\log_x（y^x）=\log_y（x^{4y}）=10.$ 的值是什么 $$xy 美元$ ？

问题 3

Alice 和 Bob 玩以下游戏。一堆 $n$ 代币摆在他们面前。玩家轮流，Alice 先走。在每个回合中，玩家从堆栈中移除 $1 美元$ 一个或多个 $4 美元$ 代币。移除最后一个令牌的玩家获胜。找到小于或等于的 $n$ 正整数的数量， $2024 美元$ 以便有一种策略可以保证 Bob 获胜，而不管 Alice 的移动如何。

问题 4

Jen 通过从 $S=\{1,2,3，\cdots，9,10\}.$ $4 美元$ 随机选择的数字中选择 $4 美元$ 不同的数字来参加抽奖如果她的数字中至少有两个是 $2 美元$ 随机选择的数字， $S.$ 她就会中奖，如果她的所有四个数字都是随机选择的数字，她就会赢得大奖。鉴于她中奖，她赢得大奖的概率是 $\tfrac{m}{n}$ 和 $$m 美元$ $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$ .

问题 5

矩形 $$ABCD 美元$ 和 $$EFGH 美元$ 绘制 $D，E，C，F$ 为共线。此外， $A，D，H，G$ 所有 S 都位于一个圆圈上。如果 $BC=16，$ $$AB=107，美元$ $$FG=17，美元$ 的长度 $EF=184，$ 是多少 $$CE 美元$ ？

$[asy] import graph;单位尺寸（0.1 厘米）;对 A = （0,0）;对 B = （70,0）;对 C = （70,16）;对 D = （0,16）;对 E = （3,16）;对 F = （90,16）;对 G = （90,33）;对 H = （3,33）;dot（A^^B^^C^^D^^E^^F^^G^^H）;标签（“$A$”， A， S）;标签（“$B$”， B， S）;标签（“$C$”， C， N）;标签（“$D$”， D， N）;标签（“$E$”， E， S）;标签（“$F$”， F， S）;标签（“$G$”， G， N）;标签（“$H$”， H， N）;绘制（E--D--A--B--C--E--H--G--F--C）;[/亚西]$

问题 6

考虑沿着 $8\times 8$ 网格上从左下角到右上角的线条的长度路径 $16 美元$ 。找到正好改变方向四次的此类路径的数量，如下例所示。

$[ASY] 尺寸（7.5cm）;usepackage（“抖音”）;label（“\begin{tikzpicture}[scale=.4]\draw（0,0）grid（8,8）;\draw[线宽=2，red]（0,0）--（2,0）--（2,3）--（5,3）--（5,8）--（8,8）;\end{tikzpicture}”，origin）;label（“\begin{tikzpicture}[scale=.4]\draw（0,0）grid（8,8）;\draw[线宽=2，red]（0,0）--（0,3）--（3,3）--（3,5）--（8,5）--（8,8）;\end{tikzpicture}”，E）;[/亚西]$

问题 7

求的最大可能的实部，其中 $z$ 是一个复数。 $|z|=4$ $（75+117i）z+\frac{96+144i}{z}$

问题 8

$34 美元$ 半径为 8 个圆可以相切放置，以便这些圆按顺序彼此相切，第一个圆与 $\overline{BC}$ $\overline{AC}$ 相 $\三角形 ABC$ 切 $\overline{AB}$ ，最后一个圆与相切，如图所示。同样， $2024 美元$ $1 美元$ 半径圆可以 $\overline{BC}$ 以相同的方式相切放置。的 $\三角形 ABC$ 半径可以表示为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$ .

$对 A = （2,1）;对 B = （0,0）;对 C = （3,0）;点（A^^B^^C）;标签（“$A$”， A， N）;标签（“$B$”， B， S）;标签（“$C$”， C， S）;draw（A--B--C--循环）;for（real i=0.62; i<2.7; i+=0.29）{ draw（circle（（i，0.145）， 0.145））; }[/亚西]$

问题 9

设 $$ABCD 美元$ 是一个菱形，其顶点都位于双曲线上 $\tfrac{x^2}{20}-\tfrac{y^2}{24}=1$ ，并且按该顺序排列。如果它的对角线在原点相交，则找到小于所有菱形 $BD^2$ 的最大数字 $$ABCD 美元$ 。

问题 10

设 $ABC$ 是一个内接在 circle $\omega$ 中的三角形。设切线 to $\omega$ at $$B 美元$ 和 $C$ intersect at 点 $$D 美元$ ，并设 $\overline{AD}$ $\omega$ intersect at $$P 美元$ 。如果 $$AB=5 美元$ ， $BC=9$ ，和 $$AC=10 美元$ ， $$AP 美元$ 可以写成形式 $\frac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对质数。查找 $m + n$ .

问题 11

正八边形的每个顶点都以相等的概率独立地着色为红色或蓝色。然后可以旋转八边形以使所有蓝色顶点都位于最初存在红色顶点的位置的概率为 $\tfrac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。什么是 $m+n$ ？

问题 12

Define $f（x）=||x|-\tfrac{1}{2}|$ 和 $g（x）=||x|-\tfrac{1}{4}|$ .求的图形的交集数 $y=4 g（f（\sin （2 \pi x））） \quad\text{ 和 }\quad x=4 g（f（\cos （3 \pi y）））.$

问题 13

设 $p$ 为存在可被 $p^{2}$ 整除的正整数 $n$ $n^{4}+1$ 的最小素数。求可被整除的最小正整数 $$m 美元$ $m^{4}+1$ 。 $p^{2}$

问题 14

设 $$ABCD 美元$ 为四面体，使得 $AB = CD = \sqrt{41}$ 、 $AC = BD = \sqrt{80}$ 和 $BC = AD = \sqrt{89}$ 。四面体内部存在一个点 $$I 美元$ ，使得到 $$I 美元$ 四面体的每个面的距离都相等。这个距离可以写成 $\frac{m \sqrt{n}}{p}$ 的形式，当 $$m 美元$ ， $n$ ，和 $p$ 是正整数， $$m 美元$ 并且 $p$ 是相对素数，并且 $n$ 不能被任何素数的平方整除。查找 $m+n+p$ .

问题 15

设 $\mathcal{B}$ 为具有表面积 $54 美元$ 和体积 $23 美元$ 的矩形框的集合。设 $$r 美元$ 是可以包含每个矩形框的最小球体的半径，这些矩形框是的 $\mathcal{B}$ 元素。的值 $r^2$ 可以写为 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$ .