2027 AIME圆中弦长怎么求？半径10、弦心距6的直角三角形

圆与弦的计算经常可以转化为一个更熟悉的直角三角形。难点在于先找到圆心到弦的垂线，并知道它会平分弦；如果直接套弧长公式，计算对象就完全错了。

题目条件：先把已知信息说清楚

圆O的半径为10，一条弦AB到圆心O的最短距离为6，求弦AB的长度以及△OAB的面积。

完整推导：一步一步得到答案

从O向AB作垂线OH，H落在弦上。由于OA=OB=10，两个直角三角形全等，因此AH=HB。勾股定理得AH²=OA²−OH²=100−36=64，AH=8，所以整条弦AB=16。△OAB以AB为底，OH为高，面积为16×6÷2=48。

为什么这样做：核验与适用范围

这套解法还可写成弦长L=2√(r²−d²)，但公式不是必须背诵的独立规则，而是由垂线平分弦与勾股定理推得。把半径与垂线长度画出来，比记住一个孤立公式更稳妥。

最容易漏掉的限制

常见错误：把AH=8当作整条弦长；使用6²+10²而不是10²−6²；或把AB误认为圆弧长度。题目说‘弦到圆心距离’时，指的是垂直距离。

举一反三：换条件再做一次

迁移：半径为5的圆，两条弦到圆心的距离分别为3与4，则弦长分别为2√(25−9)=8与2√(25−16)=6，长度差为2。越靠近圆心的弦越长，与图形直观一致。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：当d=r时会怎样？答：表达式给出弦长0，此时直线与圆相切而不是形成具有正长度的弦。若d>r，直线与圆无交点，根号内为负反映几何上不可能。

如何安排有针对性的练习

做几何题时标注半径、弦心距、半弦三条线段，先估计弦长应不超过直径20，再检查代数结果是否合理。

说明：例题为自编。2027考试形式及各考区安排请以MAA与当地考试通知为准。