2027 AIME奇偶不变量：把两个数换成差，为什么永远得不到0？

不变量题最难的部分通常不是运算，而是找到‘每一步都不会改变的性质’。奇偶性是最容易检查的候选。AIME中的复杂操作可能需要模3、模4或其他量，但先用奇偶性排除不可能情况，是很实用的第一步。

题目条件：先把已知信息说清楚

桌上写着整数1、2、…、10。每次选两个整数a、b，将它们擦去并写上|a−b|，直到只剩一个数。最终有可能得到0吗？

完整推导：一步一步得到答案

原来十个数字的和为55，是奇数。一次操作后，总和减少a+b−|a−b|。当a≥b时减少2b；当b≥a时减少2a，均为偶数。因此每一步总和的奇偶性不变。终局只剩一个数，其奇偶性仍是奇数，所以不可能等于偶数0。

为什么这样做：核验与适用范围

还有一个更短的模2证明：|a−b|与a−b奇偶性相同，而a−b与a+b奇偶性相同，因为两者差为2b。所以替换前后总和在模2意义下相等。两种证明都不依赖具体选择顺序。

最容易漏掉的限制

不能说‘剩下的数一定是55’。总和的数值可能改变，保留下来的只有奇偶性。也不能由‘偶数总和’反推出一定能够得到0；奇偶检查只是排除法，不是构造存在性的充分证明。

举一反三：换条件再做一次

迁移思考：若桌上是1至11，总和66为偶数，此时奇偶性不能排除最终得到0。接下来要么寻找更强的不变量，要么尝试给出一套确实得到0的操作。不要把‘无法排除’误写成‘必然可以’。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：为什么要用绝对值而不是普通减法？答：绝对值保证新数非负，但奇偶关系在模2下仍然成立；讨论可达数值范围时，绝对值可能是重要限制。

如何安排有针对性的练习

训练时先写初态某个量，再写一步操作后该量的变化式。若变化总是偶数或某数的倍数，就把这个不变量用于终态矛盾证明。

说明：例题为自编。2027考试形式及各考区安排请以MAA与当地考试通知为准。