2012年 AIME I 数学邀请赛真题

2012年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

求出具有三个不一定不同的数字的正整数的数量， $abc$ 其中和 $a \neq 0$ ，并且和 $c \neq 0$ 都是的倍数。 $abc$ $cba$ $4$

问题 2

等差数列的项加起来为 $715$ 。数列的第一项增加 $1$ ，第二项增加 $3$ ，第三项增加 $5$ ，一般来说， $k$ 第项增加 $k$ 第奇数个正整数。新数列的项加起来为 $836$ 。求原数列第一项、最后一项和中间项的和。

问题 3

九个人坐下来吃饭，有三种餐点可供选择。三个人点了牛肉餐，三个人点了鸡肉餐，三个人点了鱼肉餐。服务员以随机顺序提供九种餐点。求出服务员为九个人提供餐点的方式数量，使得只有一个人收到他点的餐点。

问题4

布奇和桑德斯需要离开道奇。为了尽快出发，他们轮流步行和骑着他们唯一的马斯帕基，如下所示。布奇先步行，桑德斯骑马。当桑德斯到达沿途每隔一英里就有一个拴马桩时，他把斯帕基拴在桩上，然后开始步行。布奇到达斯帕基时，他骑马直到经过桑德斯，然后在下一个拴马桩留下斯帕基，继续步行，就这样继续下去。斯帕基、布奇和桑德斯的步行速度分别为 $6,$ $4,$ 和 $2.5$ 英里每小时。布奇和桑德斯第一次在里程碑处相遇时，他们 $n$ 距离道奇有数英里，并且已经旅行了 $t$ 几分钟。求 $n + t$ 。

问题5

设是所有可以用零和一（允许前导零） $B$ 书写的二进制整数的集合。如果执行所有可能的减法，其中一个元素从另一个元素中减去，求出得到答案的次数。 $5$ $8$ $B$ $1$

问题 6

复数 $z$ 和 $w$ 满足 $z^{13} = w,$ $w^{11} = z,$ ，且的虚部为 $z$ ， $\sin{\frac{m\pi}{n}}$ 对于互质正整数 $百万$ ， $n$ 且 $m<n.$ 查找 $n.$

问题 7

下图网络中的 16 个圆圈中，每个圆圈旁边都站着一名学生。16 $3360$ 名学生共分配了 100 枚硬币。所有学生同时将相同数量的硬币传递给网络中的每位邻居，从而将所有硬币赠送出去。交易后，所有学生的硬币数量与开始时相同。求出站在中心圆圈的学生最初拥有的硬币数量。

$[asy] 导入cse5；单位尺寸（6mm）；默认笔（线宽（.8pt））；点因子 = 8；路径笔=黑色；对 A = (0,0)；对 B = 2*dir(54)，C = 2*dir(126)，D = 2*dir(198)，E = 2*dir(270)，F = 2*dir(342)；对 G = 3.6*dir(18)，H = 3.6*dir(90)，I = 3.6*dir(162)，J = 3.6*dir(234)，K = 3.6*dir(306)；对 M = 6.4*dir(54)，N = 6.4*dir(126)，O = 6.4*dir(198)，P = 6.4*dir(270)，L = 6.4*dir(342)；对[]点状 = {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P};D(A--B--H-- M); D(A--C--H--N); D(A--F--G--L); D(A--E--K--P); D(A-- D--J--O); D(B--G--M); D(F--K--L); D(E--J--P); D(O--I-- D); D(C--I--N); D(L--M--N--O--P--L); 点（虚线）；[/asy]$

问题 8

$ABCDEFGH,$ 如下所示的立方体，其边长为，被一个通过顶点和中点和的 $1$ 平面切割。该平面将立方体分成两个立体。两个立体中较大立体的体积可以写成如下形式，其中和是互质正整数。求 $D$ $M$ $N$ $\overline{AB}$ $\overline{CG}$ $\tfrac{p}{q},$ $p$ $q$ $p+q.$

$[asy]import cse5; unitize(10mm); pathpen=black; dotfactor=3; pair A = (0,0), B = (3.8,0), C = (5.876,1.564), D = (2.076,1.564), E = (0,3.8), F = (3.8,3.8), G = (5.876,5.364), H = (2.076,5.364), M = (1.9,0), N = (5.876,3.465); pair[] dotted = {A,B,C,D,E,F,G,H,M,N}; D(A--B--C--G--H--E--A); D(E--F--B); D(F--G); pathpen=dashed; D(A--D--H); D(D--C); dot(dotted);标签（“$A$”，A，SW）；标签（“$B$”，B，S）；标签（“$C$”，C，SE）；标签（“$D$”，D，NW）；标签（“$E$”，E，W）；标签（“$F$”，F，SE）；标签（“$G$”，G，NE）；标签（“$H$”，H，NW）；标签（“$M$”，M，S）；标签（“$N$”，N，NE）； [/asy]$

问题 9

设 $x,$ $y,$ 和 $z$ 为满足的正实数， $2\log_{x}(2y) = 2\log_{2x}(4z) = \log_{2x^4}(8yz) \ne 0.$ 的值 $xy^5z$ 可以表示为其中 $\frac{1}{2^{p/q}},$ 和 $p$ 为 $q$ 互质正整数。求 $p+q.$

问题 10

设 $\mathcal{S}$ 为底数最右边三位为的所有完全平方数的集合 $10$ 。 $256$ 设 $\mathcal{T}$ 为所有形式为的数的集合 $\frac{x-256}{1000}$ ，其中 $x$ 为中的 $\mathcal{S}$ 。换句话说， $\mathcal{T}$ 是截断中每个数的后三位后所得的数的集合 $\mathcal{S}$ 。求的第十小元素 $\mathcal{T}$ 除以后的余数 $1000$ 。

问题11

一只青蛙从开始 $P_0 = (0,0)$ ，按照以下规则进行一系列跳跃：从开始， $P_n = (x_n, y_n),$ 青蛙跳到， $P_{n+1},$ 可以是中的任何点 $（x_n + 7，y_n + 2），$ $（x_n + 2，y_n + 7），$ $（x_n-5，y_n-10），$ 或 $(x_n - 10，y_n - 5).$ 有 $M$ 点可以通过一系列这样的跳跃到达。当除以时，求 $(x, y)$ 余数 $|x| + |y| ≤ 100$ $M$ $1000 美元$

问题 12

设 $\三角形ABC$ 是直角三角形，直角位于设 $C.$ 和 $D$ 是 $E$ 上的点， $\overline{AB}$ 位于和 $D$ 之间，使得和三等分如果则可写成其中和是互质正整数，并且是不能被任何素数的平方整除的正整数。求 $A$ $E$ $\overline{CD}$ $\overline{CE}$ $\角度C.$ $\frac{DE}{BE} = \frac{8}{15},$ $\tan B$ $\frac{m \sqrt{p}}{n},$ $百万$ $n$ $p$ $m+n+p.$