2016年 AIME I 数学邀请赛真题

2016年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

对于 $-1<r<1$ ，设 $S(r)$ 表示几何级数的和 $12+12r+12r^2+12r^3+\cdots .$ 设和 $a$ 之间满足。求。 $-1$ $1$ $S(a)S(-a)=2016$ $S(a)+S(-a)$

问题 2

两个骰子看起来是普通骰子，其面数从 $1$ 到 $6$ ，但每个骰子都有权重，因此掷出数字的概率 $k$ 与成正比。这对骰子 $k$ 掷出的概率是，其中和是互质正整数。求。 $7$ $\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m+n$

问题 3

正二十面体是一种 $20$ 面体，每个面都是等边三角形，五个三角形在每个顶点处相交。下图所示的正二十面体顶部有一个顶点，底部有一个顶点，上部五边形有五个顶点，所有顶点都与顶部顶点相邻且位于同一水平面上，下部五边形有五个顶点，所有顶点都与底部顶点相邻且位于另一个水平面上。求从顶部顶点到底部顶点的路径数，使得路径的每一部分都沿着二十面体的一条边向下或水平延伸，并且没有重复的顶点。 $[asy] 尺寸(3cm); 对 A=(0.05,0),B=(-.9,-0.6),C=(0,-0.45),D=(.9,-0.6),E=(.55,-0.85),F=(-0.55,-0.85),G=B-(0,1.1),H=F-(0,0.6),I=E-(0,0.6),J=D-(0,1.1),K=C-(0,1.4),L=C+KA; 绘制(A--B--F--E--D--A--E--A--F--A^^B--G--F--K--G--L--J--K--E--J--D--J--L--K);绘制（B--C--D--C--A--C--H--I--C--H--G^^H--L--I--J^^I--D^^H--B，虚线）；点（A^^B^^C^^D^^E^^F^^G^^H^^I^^J^^K^^L）；[/asy]$

问题4

一个直棱柱，其高为， $h$ 底面为正六边形，边长为 $12$ 。 $A$ 棱柱的一个顶点和其三个相邻顶点是三角锥的顶点。棱柱底面的棱锥面与不包含的棱锥面形成的二面角（两个平面之间的角度）为 $A$ 。 $60^\circ$ 求 $h^2$ 。

问题5

Anh 读了一本书。第一天，她在几分钟 $n$ 内读完了页数 $t$ ，其中 $n$ 和 $t$ 是正整数。第二天，Anh 读了 $n + 1$ 几分钟 $t + 1$ 。此后的每一天，Anh 都比前一天多读了一页，并且她花的时间比前一天多一分钟才读完这 $374$ 本书。她总共花了 $319$ 几分钟读完这本书。求 $n + t$ 。

问题 6

在 $\三角形ABC$ 设 $我$ 是内切圆的圆心，设的角平分线 $\角度ACB$ 交 $\overline{AB}$ 于 $L$ 。过和的直线 $加元$ 与 $L$ 的外接圆相交 $\三角形ABC$ 于和两点 $加元$ 。 $D$ 若 $LI=2$ 和 $LD=3$ ，则 $IC= \frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。

问题 7

对于整数 $a$ 并 $b$ 考虑复数， $\frac{\sqrt{ab+2016}}{ab+100}-\left(\frac{\sqrt{|a+b|}}{ab+100}\right)i.$ 查找有序整数对的数量， $(a,b)$ 使得该复数为实数。

问题 8

$p = (a_1,a_2,\ldots,a_9)$ 对于数字的排列 $1,2,\ldots,9$ ，设 $s(p)$ 表示三位数 $3$ 、 $a_1a_2a_3$ 和 $a_4a_5a_6$ 的和 $a_7a_8a_9$ 。设 $百万$ 为的最小值，但 $s(p)$ 的个位数为 $s(p)$ 。 $0$ 设 $n$ 表示的排列数。求。 $p$ $s(p) = m$ $|m-n|$

问题 9

三角形 $ABC$ 有 $AB=40,AC=31,$ 和。此三角形 $\sin{A}=\frac{1}{5}$ 内接于矩形，且和 $AQRS$ 。 $B$ 求的最大可能面积。 $\overline{QR}$ $加元$ $\overline{RS}$ $AQRS$

问题 10

一个严格递增的正整数序列 $a_1$ ， $a_2$ ， $a_3$ ， $\cdots$ 具有以下性质：对于每个正整数 $k$ ，子序列 $a_{2k-1}$ ， $a_{2k}$ ， $a_{2k+1}$ 是几何序列，而子序列 $a_{2k}$ ， $a_{2k+1}$ ， $a_{2k+2}$ 是算术序列。假设 $a_{13} = 2016$ 。求 $a_1$ 。