2027 AIME韦达定理与立方和怎么用？不求根也能算对的代数技巧

AIME代数题经常把根的信息藏在系数里。看到两根的三次方和，不一定要先算出每一个根再立方；利用韦达关系，可以把计算转成较小的整数运算。下面这道自编题先选用可分解的方程，便于检查公式是否应用正确。

题目条件：先把已知信息说清楚

已知r、s是x²−8x+12=0的两个根，求r³+s³。题目没有要求求出r与s的排列顺序。

完整推导：一步一步得到答案

韦达定理给出r+s=8、rs=12。由(r+s)³=r³+s³+3rs(r+s)，整理得r³+s³=(r+s)³−3rs(r+s)=8³−3×12×8=512−288=224。这个推导只依赖和与积，即使根比较难看也照样适用。

为什么这样做：核验与适用范围

再用因式分解核验：x²−8x+12=(x−2)(x−6)，所以两根为2和6，立方和8+216=224，与韦达计算一致。考试中不必两种方法都写完整，但口头复核时知道第二种路径能及时发现系数符号错误。

最容易漏掉的限制

系数中x的一次项是−8，所以根的和是正8，不是−8；常数项12对应的是积12，而非和12。另一个高频错误是误写(r+s)³=r³+s³，遗漏3rs(r+s)。

举一反三：换条件再做一次

同类练习：方程x²−10x+21=0的两根立方和是多少？r+s=10、rs=21，得1000−3×21×10=370。可进一步自己推导r²+s²=(r+s)²−2rs。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：如果根不是整数，韦达公式还可用吗？答：可用。对实数根或复数根，关于多项式根与系数的代数恒等关系仍成立；只需留意题目是否限定根的类型。

如何安排有针对性的练习

先把‘和、积、平方和、立方和’列成一张互相关联的小表，再用三道不同系数的二次方程检验。完成后做一次不求根限时解题，训练避免无谓开方。

说明：例题为自编。2027考试形式及各考区安排请以MAA与当地考试通知为准。