2027 AIME重复数字排列计数：含0的六位数为什么要减去60种？

排列题一旦出现相同数字和数字0，两个不同原因会造成重复或非法：相同元素交换不算新排列，首位是0则不是要求的六位数。这类题适合用‘先算所有序列，再扣掉不合法序列’的策略，也要知道何时可直接按首位分类。

题目条件：先把已知信息说清楚

用数字0、0、1、1、2、3各一次组成六位整数，求能组成多少个互不相同的六位数。

完整推导：一步一步得到答案

先不限制首位，6个位置中两枚0互换、两枚1互换不产生新排列，所以不同序列数为6!/(2!2!)=180。首位是0的非法序列：固定一枚0在首位，剩下0、1、1、2、3五个元素，有5!/2!=60种。因此合法六位整数为180−60=120。

为什么这样做：核验与适用范围

再用另一方法核验：首位可从1、2、3中选。首位为1时，余下0、0、1、2、3有5!/2!=60种；首位为2或3时，余下0、0、1、1及另一非零数字，各有5!/(2!2!)=30种。合计60+30+30=120。分类路径完全独立，能证明没有多扣。

最容易漏掉的限制

错误一是直接用6!=720，重复计算相同0和1的交换；错误二是先扣首位0再把0重新按两枚重复元素除以2，导致非法数量算少；固定首位后要看剩余元素的重复度。

举一反三：换条件再做一次

迁移题：数字0、0、1、1、2、3、4组成七位整数。总序列7!/(2!2!)=1260，首位0的序列6!/2!=360，合法七位数为900。改变元素数目时重新数重复倍数，不能照搬120。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：什么时候用组合数比阶乘简洁？答：当题目要求安排0和1的位置时，可以先选重复数字所在位置，再排列其他元素；但仍需对首位0作限制。两种方法本质相同。

如何安排有针对性的练习

训练时先分别做不含0、含一个0、含重复0三题。统一写出‘是否计顺序、是否有相同元素、首位能否为0’的检查行，再计算。

说明：例题为自编。2027考试形式及各考区安排请以MAA与当地考试通知为准。